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      液壓成形軸對稱殼體的金屬薄板力學研究

      液壓成形軸對稱殼體的金屬薄板力學研究

      膜應力在軸對稱殼的分析使用一個新定義的幾何量稱為流動度-一個不同于曲率的量膜應力迄今為止一直相關。

      by T. C. Hsu and H. M. Shang

      摘要—新方法的推導過程稱為膨脹試驗,從薄膜應力公式,幾何和壓力之間的關系在一個薄殼內部壓力。摘要介紹了一種稱為“適當性”的量綱來消除局部幾何與完美球面的關系,并證明了“適當性”是一種不同于曲率的幾何性質。對恒滲表面的形狀和這種形狀薄殼的應力進行了檢查。介紹了本工程中使用的特殊實驗技術,并給出了實驗結果。人們發現,形成的金屬殼只有在極點和沿一個恒定緯度的圓是完美的球形。在這個圓里面,貝殼是長的(或者比球體更尖),而在它外面,它是扁圓的(或者比球體更平)。隨著成形過程的進行,這一完美球面的圓會不斷擴大,直至成形過程變得不穩定,整個球面變長。并討論了成形過程中各階段的應力分布。

      介紹

      在本項目中研究的成形過程包括將金屬薄板夾緊在帶有圓孔的模具上,并使金屬薄板的一側承受不斷增加的液壓壓力。這樣,鈑金工件就被推入模具的孔中,形成一個近似扇形的殼體。在標準條件下,這一過程被廣泛用于測試金屬板的成形性,稱為“凸點試驗”,然后將無斷裂凸點的最大極高度作為成形性的指標.

      這一著名的過程是過去二十年來許多研究論文的主題1'5,該過程的基本平衡和相容方程是眾所周知的。然而,控制這一形成過程的基本方程并不能得到顯式解;換句話說,用數學術語來說,這個問題本質上是不確定的。迄今為止,這些方程的預測解是通過引入對凸起形狀、材料中的應力-應變關系或材料顆粒路徑的各種假設來獲得的。這些解在不同程度上與實驗結果一致,從而在不同程度上證明了所作的假設。然而,他們并沒有幫助探索實驗結果本身的詳細含義;事實上,這些解決辦法并不是為了這個目的而尋求的。本文沒有嘗試預測理論;通過對一些精確的實驗結果的研究,得出了一些結論,這些結論不僅適用于金屬殼體,也適用于其他穹頂、殼體、燈泡和氣球。本文對這種方法的合理性和成果進行了闡述。.

      曲率與膜應力的關系

      在軸對稱殼體中,主應力的方向在環向和子午切向是對稱的。如σ為膜應力,p為彎曲半徑,p為水力壓力,t為局部厚度,下標e和s分別為周向和經向切向,則膜應力方程為,

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      該方程是一個簡單的平衡方程,可通過考慮殼體中邊沿主曲率方向的小矩形單元的平衡來推導。在圖1,其中展示了子午線和計劃的隆起部分,作為as 和 ps的平面紙pe在一架飛機通過PQ和垂直于紙上。兩個半徑曲率、pe 和pSl如圖1中的PQ和PS所示。從幾何上看,pe是局部次法線,等于r/sin e??紤]到工件在緯度P以上的平衡,得到: 

       image.png

      從對eq(1)和(2)的仔細檢查中,我們可以推導出一些關于為獲得理論解而作出的假設的結論。實際形成的殼的形狀近似于一個球體,可能由于這個原因,過去的一些預測理論假定球形,而解釋理論則使用等效球體。然而,殼的形狀在表面上可能與球相似,然而,實際的曲率可能與球殼有很大的偏差,因為曲率依賴于坐標的二階導數。因此,在方程式(1)和(2)中可以很容易地看出,假設殼體為球形將導致不準確的理論結果,至少就應力而言是如此。

      由于應力直接與曲線有關,因此對曲線尾部的曲率進行分析并以適當的精度進行測量是可取的。在分析曲率時,可以方便地利用等均勻曲率的球面作為范數,并考慮與完美球面形狀的偏差。因此,結合eq(1)(2)可得:

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      方程(3)表示了應力比(變形方式所依賴的應力比)與主曲線比(代表局部變形的一個方面)之間的一個非常簡單的關系

      壓力容器中應力與流動度的關系

      主曲率的比值pe/ps具有基本的幾何意義,因為它提供了偏離球面形狀的定量測量。稱它為n值比較方便。因此,當N為0時,eq(3)適用于環向應力為縱向應力兩倍的圓柱體或圓錐,當N為1時,適用于應力條件為平衡拉伸的球體。n值2是特別重要的,因為在這樣的曲率表面,周向應力消失。探索等n曲面的形狀和其中的應力是很有趣的。

      在圖2所示的四分之一子午線交會?規劃設計的各種constant-N表面,繪制按照參數方程推導在附錄a .完整的表面可以可視化想象下面的曲線在圖2鏡像軸,旋轉所產生的表面對R-axis這些曲線。從圖2中可以看出,當2v值為0或

      相反,恒lv表面是柱狀的,頂部和底部是開放的。當N值從0增加到1時,表面的形狀從圓柱形變成又長又尖的形狀,再變成更短的香腸和橄欖,當N等于1時達到球體。當N值為2時,表面的形狀就像橘子,隨著N的不斷增大,表面就變得像更平更薄的煎餅的表面。

      在N的正值范圍內,將(1 -N)定義為長毛是有用的,因為這個數字越大,常數N曲面延長得越長。長毛的反面當然是扁性。因此,一個有界的圓平面是一個無限扁率的表面,而一個圓柱或圓錐是曲率之一。曲面的曲率是兩個主曲率的平均值,而曲率與主曲率的比值有關。這一區別將在本文后面用實驗結果加以說明。

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      圖3主應力比值隨n值變化


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      圖四—曲面曲率半徑隨徑向坐標的變化

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      值得注意的是延伸性和彎曲性是兩個截然不同的幾何特性。一個表面可以是長而小的曲率,也可以是長而大的曲率。曲面的曲率是兩個主曲率的平均值,而曲率與主曲率的比值有關。這一區別將在本文后面用實驗結果加以說明。

      任意軸對稱殼體的應力比與N值的關系如圖3所示,其中以子午切向應力(σs)為單位。在圖2中,當N = 2時,點A代表圓柱(或圓錐),點B代表球面,點C代表橘形表面。這三點將應力劃分為四個范圍。在C點(N > 2)的右邊,環向應力是壓扁的,其形狀比“橘子”更扁圓。在點B和點C之間,(拉伸)周向應力小于扁殼的子午切向應力,且在A點和B點之間,在長橢球殼中,周向應力大于經向切向應力。在點A的左邊,N是負的,表面不再封閉,并且,如果一個容器是由適合的末端和這樣的護柱形的邊制成,箍應力將是縱向應力的兩倍以上。

      對等N曲面殼體的應力(而不是應力比)的檢驗將表明,嚴格地說,只有延長表面是可行的。圖4顯示了pe隨半徑r的變化,取赤道半徑為1,如圖2所示。由式(2)可以看出,圖4中的pe也代表了等厚度殼體的子午應力。因此,對于所有N大于一的等N面,應力(rs在極點理論上是有限大的。在實踐中,這種應力的理論方向從未實現,因為,一方面,存在彎曲應力,殼體被彈性地塑造成有限曲率的局部形狀,另一方面,應力集中可以通過在韌性材料中進行局部屈服來緩解。當然,我們沒有理由不把有用的壓力容器做成n值恒定大于1的形狀,但要適當地調整其兩極的形狀。另一方面,在等N曲面中;在兩極的材料總是無應力的。將圖4與圖3結合起來,可以推測出周向應力的變化

      實驗方法

      壓力容器的優點是表面具有恒定的n值,特別是當它們被制造成材料在一個方向上比在另一個方向上弱時。因此,在燈泡、圓屋頂、貝殼和氣球的設計中,形狀與恒定表面應力之間的關系對于承受內外壓力具有重要意義。然而,在本項目的背景下,不建議擬合實驗殼與恒定w曲面進行分析。本文還討論了恒流面及其應力,以說明恒流面應力的意義,并對探索實驗殼中恒流面應力的變化具有重要意義。

      本文的實驗結果是用加壓油將薄銅片制成直徑約0.152米、最大極高5.21厘米的殼。在本節中,對測量和計算方法進行了描述,因為它們是特殊的方法,沒有它們就不可能進行本文所述類型的研究。

      本項目最重要的技術是用車間量角器代替縱向坐標,精確測量殼體子午斜率6(圖1)。通過這樣做,得到經向斜率所必需的圖解或數值微分 dl/dr (見 Fig. 1) 繞過。用移動顯微鏡測量徑向坐標r。徑向坐標r然后被繪制成 和sinΦ的曲線, 曲率半徑 pe被確定。.


      為確定殼體內各點的N值,采用子午截面曲率半徑pS。因此,根據定義,


      方程(6)的微分用圖形表示。.

      結果和討論

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      殼牌的n值的變化變化?諸多階段的形成過程是如圖5所示,形成從曲線,曲線G(鋼管的材料斷裂曲線G)。圖5中的七個曲線可以分成三組:在曲線。第一組,代表過程的初始階段;第二組中的曲線B到D,用于穩定條件下的主要過程;當溫度不穩定時(油壓保持常值時),曲線從E到G。

      我們可以看到在圖5中,直到這個過程變得不穩定,外殼是完美的球形(N = 1),只有在北極(r = 0),以及一個圓(由曲線和直線的交點N = 1)。在這個圓,表面擴展的(N =1),或比一個球體更指出,和外面扁,或者比球體更扁平。在薄板材料成形的過程中,表面完全為球形的圓不斷膨脹,直到不穩定變形的后期,整個殼體變長。

      曲線A和曲線B之間的區別說明了曲率和曲率之間的區別。由于顯而易見的原因,隨著極高度的增加,殼體的一般曲率也會增大。因此,從曲線A到曲線B,殼體的曲率變大。然而,在圖5中,我們可以看到,在靠近邊緣的區域,斜度從A減小(或N增加)到b。因此,完全符合邏輯的說法是,一個表面變成了一個更大的曲率,但同時變得更平坦;這正是曲線A和B之間的情況。

      對于鋁板的結果(這里沒有給出)顯示了徑向坐標r的相同的一般變化,即從極點到邊緣,n值在統一以下下降,然后增加到一個大于統一的值。

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      為了說明殼體形狀對殼體內應力的影響,將殼體內應力以無因次形式表示。為此,將eq(2)(3)改寫為:


      其中R為極點處的曲率半徑。因此eq(7)和eq(8)的左手邊分別是無因次的子午切向應力和周向應力。用這種形式表示,厚度、壓力和一般曲率的影響被消除,而僅僅揭示了延遲性對應力的影響。eq(7)和(8)中的兩個無量綱應力在圖6(a)和6(b)中相互對應。在這兩幅圖中,應力狀態由從原點(0,0)到曲線上一點的矢量表示。如果殼體是極曲率的完美球面,矢量的末端在點(%,%);而從點(%,%)開始的曲線的長度是對由于實際殼體內的流變性引起的應力大小和應力比值變化的量度。

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      在圖6(a)和圖6(b)中,在N = 1的線上方,周向應力大于平面切向應力;在這條線下面,情況正好相反。因此,在靠近磁極的區域,材料沿圓周方向的拉伸比沿切線方向的要大。這種變形會產生一個更長的(尖的)形狀,這與通常的想象相反,盡管它可以通過參考圖被認為是真實的。

      在圖6(b)中,從圖6(a)重復曲線D,以顯示圖6(a)與6(b)的相對比例。從圖6(b)中可以看出,隨著非穩定變形的增大,兩種應力覆蓋更大的范圍;換句話說,應力變得不均勻。對比圖6(a)和圖6(b)也可以看出,穩定范圍和不穩定范圍之間的應力分布性質發生了劇烈變化。

      結論

      研究結果揭示了軸對稱殼體脹形試驗和膜應力的一些有趣的特征。從成形過程的理論研究來看,球形成形的假設是不充分的。所以工程應用而言,試驗?心理技術和本文提供的分析結果的方法是很有用的實際過程的調查,他們的改進更好的厚度分布,例如,通過改變拉緊(或法蘭的內運動),或對凹模的表面形成,只有兩種可能。

      從設計師的角度來看,應力分布的控制通過形狀打開新的可能性的prolateness增援的最佳位置,強調由于輕微變化的再分配在形狀服務由于彈性或蠕變應變,對屈曲阻力設計,或適當的厚度分布在橡膠制品膨脹后實現正確的形狀。

      此外,還介紹了一種幾何支柱的定量測量方法,即拉伸度,并將其簡單地應用于薄殼的膜應力。


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